//Индукция по размеру массива и истинность инварианта //доказывает истинность постусловия в общем случае. } }// QuickSort Приведу некоторые пояснения к этому доказательству. Задание предусловия и постусловия процедуры QSort достаточно очевидно - сортируемый массив должен быть не пустым, а после работы метода должен быть отсортированным. Важной частью обоснования является четкое введение трех множеств - S1, S2, S3 - и условий, накладываемых на их элементы. Эти условия и становятся частью инварианта, сохраняющегося при работе различных циклов нашего метода. Вначале множества S1 и S3 пусты, в ходе вычислений пустым становится множество S2. Так происходит формирование подзадач, к которым рекурсивно применяется алгоритм. Особым представляется случай, когда множество S1 тоже пусто. Нетрудно показать, что эта ситуация возможна только в том случае, если случайно выбранный элемент множества, служащий критерием разбиения исходного множества на два подмножества, является минимальным элементом. Почему обоснование полезно практически? Дело в том, что в данном алгоритме приходится следить за границами множеств (чтобы они не пересекались), за пустотой множеств (служащих условием окончания циклов), за выполнением условий, накладываемых на элементы множеств. Если явно не ввести эти понятия, то вероятность ошибки существенно возрастает. В заключение следует все-таки привести результат сортировки хотя бы одного массива.
Рис. 10.3. Результаты быстрой сортировки массива Массив задает способ организации данных. Массивом называют упорядоченную совокупность элементов одного типа. Каждый элемент массива имеет индексы, определяющие порядок элементов. Число индексов характеризует размерность массива. Каждый индекс изменяется в некотором диапазоне [a,b]. В языке C#, как и во многих других языках, индексы задаются целочисленным типом. В других языках, например, в языке Паскаль, индексы могут принадлежать счетному конечному множеству, на котором определены функции, задающие следующий и предыдущий элемент. Диапазон [a,b] называется граничной парой, a - нижней границей, b - верхней границей индекса. При объявлении массива границы задаются выражениями. Если все границы заданы константными выражениями, то число элементов массива известно в момент его объявления и ему может быть выделена память еще на этапе трансляции. Такие массивы называются статическими. Если же выражения, задающие границы, зависят от переменных, то такие массивы называются динамическими, поскольку память им может быть отведена только динамически в процессе выполнения программы, когда становятся известными значения соответствующих переменных. Массиву, как правило, выделяется непрерывная область памяти. В языке C++ все массивы являются статическими; более того, все массивы являются 0-базируемыми. Это означает, что нижняя граница всех индексов массива фиксирована и равна нулю. Введение такого ограничения имеет свою логику, поскольку здесь широко используется адресная арифметика. Так, несколько странное выражение mas + i , где mas - это имя массива, а i - индексное выражение, имеет вполне определенный смысл для C++ программистов. Имя массива интерпретируется как адрес первого элемента массива, к этому адресу прибавляется число, равное произведению i на размер памяти, необходимой для одного элемента массива. В результате сложения в такой адресной арифметике эффективно вычисляется адрес элемента mas[i]. |
Предыдущая страница |
Следующая страница |
|